Fundamentos de ARPA

La Resolución de Problemas

Introducción

La resolución de problemas se encuentra en el centro de la actividad profesional de los matemáticos, quienes en su afán de conocer el mundo crean modelos abstractos de la realidad, estudian las componentes de estos modelos y las relaciones entre ellas.

En esta tarea creativa, los matemáticos se plantean interrogantes o problemas que cautivan su interés y ellos vuelcan su energía para resolverlos, buscan estrategias y trabajan hasta que logran resolverlos, comprendiéndolos en su cabalidad. Esta actividad de los matemáticos, la resolución de problemas, hace su aparición en el currículo nacional hace ya varios años, pero es elevada a la categoría de habilidad, distinguida claramente de los contenidos, en las Bases Curriculares de 2012, poniendo una serie de desafíos a todo el sistema escolar, en particular a los programas de formación de docentes, a los docentes en formación y también a los docentes en ejercicio.

La resolución de problemas en el Currículo Nacional

Las Bases Curriculares vigentes se estructuran en tres grandes ejes: Habilidades, Contenidos y Actitudes. Esta forma de presentar el currículo pone de manera explícita el desarrollo de habilidades en los estudiantes como parte indispensable a lograr. Una de las cuatro habilidades consideradas es Resolver Problemas, que se presenta como: Resolver problemas es tanto un medio como un fin para lograr una buena educación matemática. Se habla de resolver problemas, en lugar de simples ejercicios, cuando el estudiante logra solucionar una situación problemática dada, contextualizada o no, sin que se le haya indicado un procedimiento a seguir.

A través de estos desafíos, los alumnos experimentan, escogen o inventan y aplican diferentes estrategias (ensayo y error, metaforización o representación, simulación, transferencia desde problemas similares ya resueltos, etc.), comparan diferentes vías de solución, y evalúan las respuestas obtenidas y su pertinencia.

La implementación de actividades de resolución de problemas en la sala de clases, con el fin de responder a las exigencias del currículo nacional, pone un enorme desafío a todo el sistema educacional, tanto a los formadores de docentes, a los estudiantes de pedagogía, a los profesores y profesoras en ejercicio.

¿Qué es un problema?

Consideramos que una actividad matemática es un problema cuando quien lo enfrenta no conoce un procedimiento que le lleve de forma directa a la solución, en caso contrario se dice que dicha actividad matemática es un ejercicio. Así, el término “problema” no se refiere a una propiedad inherente a una actividad matemática sino que depende del tipo de interacción que se establezca entre esta actividad matemática y la persona que intenta resolverla. El problema debe presentar una dificultad para quien la enfrenta, la que no puede ser solamente de tipo operacional. Por otro lado, que una actividad matemática sea un problema o un ejercicio no depende del contexto en que se enuncie; un problema puede estar planteado en un contexto puramente matemático y un ejercicio puede presentarse bajo un contexto no matemático. Cuando quien enfrenta un problema considera que tiene conocimientos suficientes para ello y se interesa (motiva) en su solución, éste intenta distintas estrategias, insiste en la búsqueda de un camino que lo lleve a su solución. Cuando logra resolver el problema, lo llega a comprender de manera integral, lo que le permite explicarlo a otros. En su afán por resolver el problema, quien se enfrenta al problema interactúa con sus pares, enriqueciéndose de la discusión matemática sobre el problema. Y aquí una definición de problema:

Un problema es una actividad matemática para la cual la persona que la enfrenta no conoce un procedimiento que le conduzca a la solución, esta tiene interés en resolverlo, le supone un desafío y siente que lo puede resolver. Un problema puede estar planteado en un contexto matemático o no matemático.

La resolución de problemas y las otras habilidades del currículo

Las habilidades matemáticas que plantea el currículo nacional a través de las Bases Curriculares son cuatro:

  • Resolver problemas
  • Argumentar y comunicar
  • Representar
  • Modelar

Estas habilidades están íntimamente ligadas, no se pueden separar. Uno puede argumentar que las actividades de resolución de problema ayudan a desarrollar las otras tres habilidades. Ciertamente para resolver problemas es necesario representar, modelar y también argumentar y comunicar. Sobre esta última quisiéramos llamar la atención, pues la resolución de problemas provee de excelentes oportunidades para la comunicación, tanto en el trabajo en grupo, en la comunicación de la solución al profesor o profesora y en discusiones plenarias, donde los estudiantes exponen y discuten sobre las diferentes estrategias, sus bondades, los procedimientos y errores que pueden haber cometido durante la búsqueda de la solución. Y aquí algunas interrogantes: ¿cómo organizar a los estudiantes para realizar una sesión de resolución de problemas? ¿cómo interesarlos para que opinen sobre el trabajo de sus compañeros? ¿cómo hacer que los estudiantes se interesen en la presentación oral que está haciendo un grupo de compañeros? ¿cómo estimular la discusión matemática entre los estudiantes?

Una preocupación que surge por parte de los profesores y profesoras en ejercicio y en formación cuando participan en actividades que ponen énfasis en las habilidades matemáticas (resolución de problemas, modelamiento) es la relación que éstas tienen con los contenidos. De hecho, en muchas oportunidades se manifiesta que la dedicación a los contenidos no deja tiempo para la realización de actividades como éstas. Pero uno podría preguntarse ¿es que las actividades de modelación o resolución de problemas compiten en cierto modo con actividades específicas con contenidos? Un intento de responder a esta pregunta se puede hacer describiendo en detalle todos los contenidos involucrados en un determinado problema y darse cuenta que al desarrollar el problema todos esos contenidos se ponen en juego. Pero hay otra posible respuesta y que tiene que ver con el propósito mismo de la actividad matemática cuando se la considera una actividad humana tendiente al estudio de la realidad para comprenderla y predecirla, ésta es la actividad que realizan los matemáticos profesionales y científicos en su cotidianeidad ¿de qué sirven los conocimientos matemáticos si no es para resolver problemas y modelar la realidad? Las actividades matemáticas escolares de resolución de problemas y de modelamiento dan sentido a los conocimientos, los ponen en juego, los despliegan, los conectan y permiten al estudiante experimentar de primera mano la labor de un matemático, enfrentarse a cuestiones que no conoce, a problemas nuevos, con las herramientas de que dispone. Esta experiencia da sentido a la matemática escolar y la proyecta a todos los ámbitos de la vida de la persona.

La Actividad de Resolución de Problemas en el Aula (ARPA)

El Problema

El problema es el elemento central de un ARPA, es la actividad matemática que realizan los estudiantes en el aula. El problema debe ser analizado con detalle por el docente para conocer sus dificultades y sus potencialidades. Un ARPA exitoso permitirá a todos los estudiantes resolver el problema. ¡Sí, a todos! Posiblemente algunos estudiantes resolverán solo la versión original del problema y otros una versión con extensiones. Este punto es muy importante pues todos los estudiantes deben sentir que resolvieron el problema planteado. He aquí un ejemplo:

Los cuadraditos

¿Cuántos cuadrados puede identificar en la figura?

cuadraditosLas simplificaciones del problema

Durante la planificación del ARPA se analizan simplificaciones del problema, que son en general preguntas que hacen más simples el problema original. Por ejemplo en el problema de los cuadraditos una simplificación puede ser ¿y si el cuadrado es de 3×3?

Las extensiones del problema

Durante la planificación del ARPA se analizan extensiones del problema, que son en general preguntas que van más allá del problema original, haciéndolo más difícil para desafiar a quienes ya han resuelto el problema original. En el problema de los cuadraditos una extensión sería ¿y si el cuadrado fuera de 5×5? ¿y si fuera de 7×7? ¿puedes encontrar una fórmula general?

Etapas de un ARPA

Un ARPA cuenta con etapas, las cuales se detallan a continuación:

1. Entrega

El inicio del ARPA plantea un primer cambio en la práctica pedagógica tanto para el docente como para los estudiantes. Cuando se tiene suficiente práctica y los estudiantes están familiarizados con el ARPA, esta etapa ocurre en un tiempo muy breve. Esta etapa inicial es breve y en algunas ocasiones contempla palabras de motivación generales o relativas al problema que se abordará en el ARPA.

Conformación de los grupos

El ARPA se inicia con la conformación de grupos aleatorios. Con una adecuada planificación y con firmeza en las primeras oportunidades, se logra pasar por esta etapa sin problemas. Es necesario no hacer excepciones a los grupos aleatorios, y decidir antes de la actividad el número de integrantes por grupo y el esquema de selección de los grupos. Para la conformación de los grupos existen variadas formas, incluso los estudiantes las pueden proponer. Con el tiempo los estudiantes valoran la diversidad de compañeros y de formas de aprendizaje matemático que les permite conocer este esquema de formación de grupos.

Los estudiantes leen el problema

Una vez que los estudiantes están sentados en sus respectivos grupos, el docente entrega el problema, normalmente en una hoja para cada estudiante, con suficiente espacio para escribir. Los grupos leen el problema y se ponen a trabajar. Cuando un grupo no entiende llama al docente, quien orienta al grupo con una pregunta precisa relacionada con el texto del problema. Por ejemplo, en el problema de los cuadraditos ¿pueden indicarme dos cuadrados de 2×2? Una pregunta genérica como ¿qué dice el problema? no es recomendable, tampoco pedir al grupo lean de nuevo o lean con cuidado. Tampoco se recomienda que un estudiante, y mucho menos el docente, lea el problema en voz alta para todo el curso.

2. Activación

Esta etapa está dedicada a lograr que los estudiantes trabajen con entusiasmo, dedicación y autonomía en el problema planteado, esta etapa suele tomar la mayor parte del tiempo del ARPA. Se dice que si el docente tiene poco que hacer en esta etapa es porque está cumpliendo muy bien con su labor.

La interacción con los grupos

La interacción del docente con los grupos siempre se realiza a través de preguntas formuladas al grupo o a uno de los integrantes del grupo específicamente. El docente debe permanecer el menor tiempo posible con los grupos, debe procurar hacer una pregunta que enganche al grupo y dejarlo inmediatamente, sin esperar una respuesta de los estudiantes. Especialmente en las primeras ARPAs y al inicio del ARPA, el docente debe estimular la discusión entre los integrantes del grupo, pidiendo a uno que explique su posición a otro, o que refrasee lo que dice el otro, etc.

¿Qué hacer si un grupo no entiende el problema?

Durante la planificación se ha pensado en posibles preguntas para realizar a un grupo que intenta, pero no logra comprender el problema, no entiende de qué se trata, no logra comprender dónde está el desafío. En este caso el docente hace preguntas al grupo, o a uno de los integrantes directamente, sobre aspectos específicos del problema. Agregando a la pregunta ¿pueden indicarme dos cuadrados de 2×2? en el problema de los cuadraditos ¿José, puedes decirme cuántos cuadraditos chicos hay?

¿Qué hacer si un grupo ya entendió el problema, está trabajando, pero no logra avanzar, está trancado?

Un grupo puede estar trancado por diversas razones. Puede ocurrir que hayan cometido un error, o interpretado mal algún aspecto del problema. Idealmente esta situación fue prevista en la planificación y el docente tiene preguntas preparadas para estimular la discusión y hacer evidente el error. El grupo puede estar trancado porque eligió una estrategia errada o porque no sabe cómo avanzar en la estrategia escogida, estrategia que sí lleva a resolver el problema, pero que todavía no se comprende a cabalidad. El docente debe evaluar la situación y buscar preguntas que den pistas, pero que lleven a los estudiantes darse cuenta como seguir.

3. Consolidación

¿Qué hacer si un grupo dice que ha terminado?

Un problema está resuelto cuando cada integrante del grupo puede explicar cómo resolvió el problema y cómo lo resolvieron sus compañeros. Cuando el docente ha evaluado que el problema ha sido resuelto de manera incompleta o errónea, el docente debe hacer una pregunta para que los estudiantes se den cuenta del error por sí mismos. Cuando un grupo llama al docente diciendo que ha terminado, este debe evaluar rápidamente la situación, porque la pregunta que hará dependerá de esa evaluación. Si la solución está correcta (o si el docente no entiende el razonamiento usado), el docente pide que un estudiante explique. Cuando el docente ha evaluado que el grupo ha resuelto el problema, este insiste por explicaciones, en caso que alguno de los integrantes no haya mostrado evidencias que también comprendió la solución.

4. Discusión

La discusión Plenaria

El ARPA finaliza con la plenaria, que tiene por objetivo socializar las distintas soluciones y estrategias utilizadas para resolver el problema. En esta instancia se reflexiona en grupo sobre los aprendizajes obtenidos durante el desarrollo del ARPA. Como en toda la actividad ARPA, el docente busca una posición lo menos notoria posible, estimulando la discusión, eligiendo al grupo (o grupos) que explica el problema, pidiendo aclaraciones con preguntas. El protagonismo en la plenaria también es de los estudiantes.

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